%% Basierend auf einer TeXnicCenter-Vorlage von Mark Müller
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Wählen Sie die Optionen aus, indem Sie % vor der Option entfernen  
% Dokumentation des KOMA-Script-Packets: scrguide

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Optionen zum Layout des Artikels                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[%
%a5paper,							% alle weiteren Papierformat einstellbar
%landscape,						% Querformat
%10pt,								% Schriftgröße (12pt, 11pt (Standard))
%BCOR1cm,							% Bindekorrektur, bspw. 1 cm
%DIVcalc,							% führt die Satzspiegelberechnung neu aus
%											  s. scrguide 2.4
%twoside,							% Doppelseiten
%twocolumn,						% zweispaltiger Satz
%halfparskip*,				% Absatzformatierung s. scrguide 3.1
%headsepline,					% Trennline zum Seitenkopf	
%footsepline,					% Trennline zum Seitenfuß
%titlepage,						% Titelei auf eigener Seite
%normalheadings,			% Überschriften etwas kleiner (smallheadings)
%idxtotoc,						% Index im Inhaltsverzeichnis
%liststotoc,					% Abb.- und Tab.verzeichnis im Inhalt
%bibtotoc,						% Literaturverzeichnis im Inhalt
%abstracton,					% Überschrift über der Zusammenfassung an	
%leqno,   						% Nummerierung von Gleichungen links
%fleqn,								% Ausgabe von Gleichungen linksbündig
%draft								% überlangen Zeilen in Ausgabe gekennzeichnet
]
{scrartcl}

%\pagestyle{empty}		% keine Kopf und Fußzeile (k. Seitenzahl)
%\pagestyle{headings}	% lebender Kolumnentitel  

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

%% Deutsche Anpassungen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[ansinew]{inputenc}

\usepackage{lmodern} %Type1-Schriftart für nicht-englische Texte


%% Packages für Grafiken & Abbildungen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx} %%Zum Laden von Grafiken
%\usepackage{subfig} %%Teilabbildungen in einer Abbildung
%\usepackage{tikz} %%Vektorgrafiken aus LaTeX heraus erstellen

%% Beachten Sie:
%% Die Einbindung einer Grafik erfolgt mit \includegraphics{Dateiname}
%% bzw. über den Dialog im Einfügen-Menü.
%% 
%% Im Modus "LaTeX => PDF" können Sie u.a. folgende Grafikformate verwenden:
%%   .jpg  .png  .pdf  .mps
%% 
%% In den Modi "LaTeX => DVI", "LaTeX => PS" und "LaTeX => PS => PDF"
%% können Sie u.a. folgende Grafikformate verwenden:
%%   .eps  .ps  .bmp  .pict  .pntg


\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\lhead{\small{Christian Dietrich (21450725), Tobias Langer (21441868)}}
\chead{}
\rhead{IngMathC1 WS09/10 (UB01)}
\cfoot{}
\lfoot{Stand: \today}
\rfoot{- \small{\thepage} - }


%% Bibliographiestil %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\usepackage{natbib}

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Ihr Artikel                                                       %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% eigene Titelseitengestaltung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    
%\begin{titlepage}
%Einsetzen der TXC Vorlage "Deckblatt" möglich
%\end{titlepage}

%% Angaben zur Standardformatierung des Titels %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\titlehead{Titelkopf }
%\subject{Typisierung}
%\title{Mathe Übung 1}
%\author{Tobias Langer, Christian Dietrich}
%\and{Der Name des Co-Autoren}
%\thanks{Fußnote}			% entspr. \footnote im Fließtext
%\author{}% Befehl entfernen, um aktuelles Datum zu erzeugen
%\date{}
%\date{}							% falls anderes, als das aktuelle gewünscht
%\publishers{Herausgeber}

%% Widmungsseite %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\dedication{Widmung}

%\maketitle 						% Titelei wird erzeugt

%% Zusammenfassung nach Titel, vor Inhaltsverzeichnis %%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{abstract}
% Für eine kurze Zusammenfassung des folgenden Artikels.
% Für die Überschrift s. \documentclass[abstracton].
%\end{abstract}

%% Erzeugung von Verzeichnissen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\tableofcontents			% Inhaltsverzeichnis
%\listoftables				% Tabellenverzeichnis
%\listoffigures				% Abbildungsverzeichnis


%% Der Text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\thesection}{} 
\renewcommand{\thesubsection}{\hspace{1.0cm}\indent\textnormal{\alph{subsection}})} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\hspace{2.0cm}(\textnormal{\roman{subsubsection}})}

\section{A.1 ( Wahrheitstafeln)}
 \subsection{}
	\subsubsection{}
		\begin{gather*}
			\begin{tabular}{l|l|c|c}
		 		A & B & $ \neg $ (A $ \vee $ B) & $ \neg $ A $ \wedge \neg $ B \\ \hline
				0 & 0 & 1 & $1 \wedge 1 = 1 $\\
				0 & 1 & 0 & $1 \wedge 0 = 0 $\\
				1 & 0 & 0 & $0 \wedge 1 = 0 $\\
				1 & 1 & 0 & $0 \wedge 0 = 0 $\\
			\end{tabular}
		\end{gather*}
	\subsubsection{}
		\begin{gather*}
			\begin{tabular}{l|l|c|c}
		 		A & B & $ \neg $ (A $ \wedge $ B) & $ \neg $ A $ \vee \neg $ B \\ \hline
				0 & 0 & 1 & $ 1 \vee 1 = 1$ \\
				0 & 1 & 1 & $ 1 \vee 0 = 1 $\\
				1 & 0 & 1 & $ 0 \vee 1 = 1 $\\
				1 & 1 & 0 & $ 0 \vee 0 = 0 $\\
			\end{tabular}
		\end{gather*}
	\subsubsection{}
		\begin{gather*}
			\begin{tabular}{l|l|l|c|c}
				A & B & C & A $ \wedge $ (B $ \vee $ C) & (A $ \wedge $ B) $ \vee $ (A $ \wedge $ C) \\ \hline
				0 & 0 & 0 & 0 & $ 0 \vee 0 = 0 $ \\
				0 & 0 & 1 & 0 & $ 0 \vee 0 = 0 $  \\
				0 & 1 & 0 & 0 & $ 0 \vee 0 = 0 $  \\
				0 & 1 & 1 & 0 & $ 0 \vee 0 = 0 $  \\
				1 & 0 & 0 & 0 & $ 0 \vee 0 = 0 $  \\
				1 & 0 & 1 & 1 & $ 0 \vee 1 = 1 $  \\
				1 & 1 & 0 & 1 & $ 1 \vee 0 = 1 $ \\
				1 & 1 & 1 & 1 & $ 1 \vee 1 = 1 $\\
			\end{tabular}
		\end{gather*}
	\subsubsection{}
		\begin{gather*}
			\begin{tabular}{l|l|c|c}
				A & B & A $ \Rightarrow $ B & ( $ \neg $ A $ \vee $ B ) \\ \hline
				0 & 0 & 1 & $ 1 \vee 0 = 1$ \\
				0 & 1 & 1 & $ 1 \vee 1 = 1$ \\
				1 & 0 & 0 & $ 0 \vee 0 = 1$\\
				1 & 1 & 1 & $ 0 \vee 1 = 1$ \\
			\end{tabular}
		\end{gather*}
	\subsection{}
	\( (A \Rightarrow B) = (\neg A \vee B) = (B \vee \neg A) = (\neg (\neg B) \vee (\neg A)) = (\neg B \Rightarrow \neg A) \)
	%		\begin{align*}
	%		(A \Rightarrow B) &= ( \neg B \Rightarrow \neg A)\\[2ex]
%			(A \Rightarrow B) &= (\neg A \vee B) \\[2ex]
%			(A \Rightarrow B) &= \neg \neg ( \neg A \vee B) \\[2ex]
%			(A \Rightarrow B) &= \neg ( \neg (\neg A \vee B) \\[2ex]
%			(A \Rightarrow B) &= \neg ( A \wedge \neg B) \\[2ex]
%			(A \Rightarrow B) &= (\neg B \Rightarrow \neg A) \\[2ex]
%			(A \Rightarrow B) &= ( B \vee \neg A) \\[2ex]
%			\neg A \vee B &= B \vee \neg A
%		\end{align*}
	\subsection{}
		\begin{gather}
			(A \Rightarrow B) \Rightarrow C = A \Rightarrow (B \Rightarrow C) \\[2ex]
			\begin{tabular}{l|l|l|c|c}
				A & B & C   & (A $ \Rightarrow $ B) $ \Rightarrow $ C & A $ \Rightarrow $ (B $ \Rightarrow $ C) \\ \hline
				0 & 0 & 0   & $ 1 \Rightarrow 0 = 0 $ & $ 0 \Rightarrow 1 = 1 $ \\
				0 & 0 & 1   & $ 1 \Rightarrow 1 = 1 $ & $ 0 \Rightarrow 1 = 1 $ \\
				0 & 1 & 0   & $ 1 \Rightarrow 0 = 0 $ & $ 0 \Rightarrow 0 = 1 $ \\
				0 & 1 & 1   & $ 1 \Rightarrow 1 = 1 $ & $ 0 \Rightarrow 1 = 1 $ \\
				1 & 0 & 0   & $ 0 \Rightarrow 0 = 1 $ & $ 1 \Rightarrow 1 = 1 $ \\
				1 & 0 & 1   & $ 0 \Rightarrow 1 = 1 $ & $ 1 \Rightarrow 1 = 1 $ \\
				1 & 1 & 0   & $ 1 \Rightarrow 0 = 0 $ & $ 1 \Rightarrow 0 = 0 $ \\
				1 & 1 & 1   & $ 1 \Rightarrow 1 = 1 $ & $ 1 \Rightarrow 1 = 1 $ \\
			\end{tabular}
		\end{gather}
			Die Implikation ist nicht assoziativ.
\section{A.2 (Mengenoperationen) }
	\subsection{}
		 \begin{align*}
		 		M \cup N \hspace{1.1cm} M \backslash N \\
		 \end{align*}
		 		\subsubsection{}
		 					\begin{gather*}
		 							M = \left\{ 0, 1, 2, 3 \right\} \hspace{1.1cm} N = \left\{ 2, 4, 6 \right\} \\
		 							M \cup N = \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 6 \right\} \\
		 							M \backslash N = \left\{ 0, 1, 3 \right\}
		 					\end{gather*}
		 					
		 		\subsubsection{}
		 					\begin{gather*} %TODO - R Menge
		 							M = \left\{ x \in R | 0 \leq x \leq 1 \right\} \hspace{1.1cm} N = \left\{y \in R | 1 \leq y < 2 \right\} \\
		 							M \cup N = \left\{ z \in R | 0 \leq z < 2 \right\} \\
		 							M \backslash N = \left\{ z \in R | 0 \leq z < 1 \right\}
		 					\end{gather*}
		 		\subsubsection{}
		 					\begin{gather*}
		 							M = \left\{ x \in R | x^{2} \leq 2 \right\} \hspace{1.1cm} N = \left\{ x \in R | x < sqrt{2} \right\} \\
		 							M \cup N = \left\{ x \in R | x \leq \sqrt{2} \right\} \\
		 							M \backslash N = \left\{ x \in R | x = \sqrt{2} \right\}
		 					\end{gather*}
	\subsection{}
		\begin{gather*}
			M \backslash N \\
			M = \left\{ \left\{ 1,1 \right\}, \left\{ 1, 2 \right\}, \left\{ 2, 1 \right\}, \left\{ 2, 2 \right\}, \left\{ 3, 1 								\right\}, \left\{ 3, 2 \right\} \right\} \\
			N =  \left\{  \left\{ 2, 2 \right\}, \left\{ 2, 3 \right\}, \left\{ 2, 4 \right\}, \left\{ 3, 2 \right\}, \left\{ 3, 3 								\right\}, \left\{ 3, 4 \right\}, \left\{ 4, 2 \right\}, \left\{ 4, 3 \right\}, \left\{ 4, 4 \right\} \right\} \\
			M \backslash N =  \left\{  \left\{ 1, 1 \right\}, \left\{ 1, 2 \right\}, \left\{ 2, 1 \right\}, \left\{ 3 , 1 \right\} 	\right\} 
					   = \left\{ 1, 2, 3 \right\} \times \left\{1\right\}
		\end{gather*}
	\subsection{}		
		\begin{gather*}
			\text{Seien: A = 1, B = 3, C = 2 \& D = 3} \\
			 \left\{  \left\{ 1 \right\} \times  \left\{ 3 \right\} \right\} \backslash  \left\{  \left\{ 1 \right\} \times  \left\{ 3 \right\} \right\} =  \left\{  \left\{ 1 \right\} \backslash  \left\{ 2 \right\} \right\} \times  \left\{  \left\{ 3 \right\} \backslash  \left\{ 3 \right\} \right\} \\
			 \left\{ 1,3 \right\} \backslash \left\{ 1,3\right\} = \left\{1\right\} \backslash \left\{\right\}\\
			 \oslash = \left\{1\right\}
		\end{gather*}
		Die allgemeine Gleichheit der Terme ist nicht gegeben.
	\subsection{}
		\subsubsection{}
		 	\begin{gather*}
				M = \left\{ a; b; c \right\} \\
				P\left(M \right) = \left\{  \left\{a\right\}, \left\{b\right\}, \left\{c\right\},
								   \left\{ a, b \right\}, \left\{ a, c \right\},  \left\{ b, c \right\},
								   \left\{ a, b, c 	\right\},
								   \oslash \right\}
			\end{gather*}
		\subsubsection{}
			\begin{gather*}
				M = \oslash \\
				P\left(M\right) = \oslash
			\end{gather*}
		\subsubsection{}
			\begin{gather*}
			  P\left(M\right) = \left\{\left\{1\right\}, \left\{\left\{ 2\right\}\right\}, \left\{ 1 , \left\{ 2 \right\}\right\}, \oslash \right\}
			\end{gather*}
\section{A.3 (Zur"uckf"uhrung von Regeln der Mengenoperationen auf Regeln der Aussagenlogik)}
	\subsection{}
		\begin{gather*}
			A \cap B =  \underbrace{\left\{a |a \in A \wedge a \in B\right\} }_{Kommutativgesetz}	
		  \end{gather*}
	\subsection{}
	\begin{equation*}
			  \left( A \cap B \right) \cup C =\\
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
			= \left\{a|\left(a \in A \wedge a \in B \right) \vee a \in C \right\} 
			= \underbrace{\left\{a|\left( a \in A \vee a \in C \right) \wedge \left( a \in B \vee a \in C \right)  \right\} }_{Distributivgesetz}=\\
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
			= \left( A \cup C \right) \cap \left( B \cup C \right)
	\end{equation*}
\section{A.4 (Quantoren)}
	\begin{enumerate}
		\item{Wahr}
		\item{Falsch}
		\item{Falsch}
		\item{Falsch}
		\item{Wahr}
		\item{Wahr}
		\item{Falsch}
	\end{enumerate}
\end{document}
